Prędkość definiuje się jako przyspieszenie obiektu w określonym kierunku. W wielu typowych sytuacjach używamy równania v = s/t, gdzie v równa się prędkość, s równa się całkowitemu przemieszczeniu obiektu od punktu początkowego, a t równa się upływającemu czasowi. Jednak technicznie wynik równania reprezentuje tylko „średnią” prędkość podczas kursu. Za pomocą obliczeń można w dowolnym momencie trasy znaleźć prędkość obiektu. Nazywa się to „szybką prędkością”, którą definiuje równanie v = (ds)/(dt), czyli inaczej równanie pochodnej średniej prędkości obiektu.
kroki
Część 1 z 3: Obliczanie prędkości natychmiastowej
Krok 1. Zacznij od równania prędkości w funkcji przemieszczenia
Aby uzyskać chwilową prędkość obiektu, potrzebujesz najpierw równania, które pokazuje położenie obiektu (w kategoriach przemieszczenia) w danym momencie. Oznacza to, że równanie musi mieć zmienną s sam z jednej strony i T po drugiej stronie, ale niekoniecznie samotnie, tak:
s = -1,5t2+ 10t + 4
-
W tym równaniu zmienne to:
-
-
Przemieszczenie = s. Odległość przebyta przez obiekt od pozycji wyjściowej. Na przykład, jeśli obiekt porusza się 10 metrów do przodu i 7 metrów do tyłu, całkowite przemieszczenie wynosi 10 - 7 = 3 metry (nie 10 + 7 = 17 metrów).
- Czas = t. Nie wymaga wyjaśnień. Zwykle mierzone w sekundach.
-
-
Krok 2. Oblicz pochodną równania
Pochodna równania to po prostu inne równanie, które pokazuje swoją krzywą w dowolnym momencie. Aby znaleźć pochodną wzoru przemieszczenia, należy zróżnicować funkcję za pomocą tej ogólnej zasady znajdowania pochodnych: Jeśli y = a*x , pochodna = a*n*xn-1. Ta reguła jest stosowana do każdego wyrazu po stronie równania, które zawiera t.
- Innymi słowy, zacznij od lewej do prawej strony równania od t. Za każdym razem, gdy znajdziesz t, odejmij 1 od wykładnika i pomnóż cały wyraz przez oryginalny wykładnik. Wszelkie wyrazy stałe (wyrazy, które nie zawierają t) znikną, gdy zostaną pomnożone przez 0. Proces ten nie jest tak trudny, jak się wydaje - zobacz jako przykład powyższe równanie:
s = -1,5t2+ 10t + 4
(2)-1, 5t(2-1)+ (1)10t1 - 1 + (0)4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Krok 3. Zamień s na ds/dt
Aby pokazać, że nowe równanie jest pochodną starego, zastąp s notacją ds/dt. Z technicznego punktu widzenia notacja oznacza „pochodną s względem t”. Prostszym sposobem zrozumienia tego jest myślenie, że ds/dt jest po prostu krzywą dowolnego punktu w pierwszym równaniu. Na przykład, aby znaleźć krzywą linii utworzonej przez s = -1, 5t2 + 10t + 4 w t = 5, po prostu przypisz 5 do t w jego pochodnej.
- W tym przykładzie gotowe równanie powinno wyglądać tak:
ds/dt = -3t + 10
Krok 4. Przypisz wartość do t w nowym równaniu, aby znaleźć prędkość chwilową
Po otrzymaniu wyprowadzonego równania łatwo jest znaleźć prędkość chwilową w dowolnym momencie. Wszystko, co musisz zrobić, to wybrać wartość t i przypisać ją do wyprowadzonego równania. Na przykład, jeśli chcesz obliczyć prędkość chwilową z t = 5, po prostu zamień t na 5 na pochodnej ds/dt = -3t + 10. Więc po prostu rozwiąż równanie:
ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = - 5 metrów/sekundę
Zauważ, że użyto podanej powyżej jednostki miary metr/sekunda. Ponieważ mamy do czynienia z przemieszczeniem w metrach, czas w sekundach, a prędkość ogólnie jest po prostu przemieszczeniem w czasie, pomiar jest odpowiedni
Część 2 z 3: Szacowanie prędkości natychmiastowej na wykresie
Krok 1. Narysuj wykres przemieszczenia obiektu w czasie
W powyższej sekcji wspomniano, że pochodne to nic innego jak wzory, które pomagają znaleźć krzywą w dowolnym momencie w równaniu, do którego się odnosi. W rzeczywistości, podczas kreślenia przemieszczenia obiektu linią na wykresie, krzywa linii w danym punkcie jest równa prędkości chwilowej obiektu w tym punkcie.
- Aby przedstawić wykres, użyj osi x do reprezentowania czasu i osi y do reprezentowania przemieszczenia. Następnie rozdziel punkty, przypisując wartości dla t w równaniu przemieszczenia, znajdując wartości dla s i wykreślając t, s (x, y) na wykresie.
- Zauważ, że wykres może rozciągać się poniżej osi X. Jeśli linia reprezentująca ruch obiektu rozciąga się poniżej osi x, oznacza to, że obiekt porusza się wstecz od miejsca, w którym się rozpoczął. Generalnie wykres nie będzie rozciągał się poza oś y – nie jest zwyczajem mierzenie prędkości obiektów poruszających się wstecz w czasie!
Krok 2. Wybierz punkt P i punkt Q w jego pobliżu na linii
Aby znaleźć krzywą w punkcie P, stosuje się sztuczkę o nazwie „obliczanie granicy”. Obliczenie limitu polega na wybraniu dwóch punktów (P i Q) na krzywej i odnalezieniu krzywej prostej, która łączy oba punkty raz za razem, podczas gdy odległość między P q Q maleje.
Załóżmy, że linia przemieszczenia zawiera punkty (1, 3) i (4, 7). W takim przypadku, jeśli chcesz znaleźć krzywą w (1, 3), zdefiniuj (1, 3) = P oraz (4, 7) = Q.
Krok 3. Znajdź krzywą między P i Q
Krzywa między P i Q jest różnicą wartości y dla P i Q nad różnicą wartości x dla P i Q. Innymi słowy, H = (yQ -yDLA)/(xQ - xDLA), gdzie H jest krzywą między dwoma punktami. W poprzednim przykładzie krzywa między P i Q to:
H = (yQ-yDLA)/(xQ- xDLA)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1, 33
Krok 4. Powtórz kilka razy, przesuwając Q bliżej P
Celem jest coraz większe zmniejszanie odległości między Q i P, aż zbliżysz się do jednego punktu. Im mniejsza odległość między Q i P, tym krzywa jego małych segmentów będzie bliżej krzywej w punkcie P. Zróbmy to kilka razy dla przykładowego równania, używając punktów (2;4, 8), (1, 5;3, 95) i (1, 25;3, 49) dla Q oraz pierwotny punkt (1, 3) dla P:
Q = (2;4, 8):
H = (4, 8 - 3)/(2 - 1)
H = (1, 8)/(1) = 1, 8
Q = (1, 5,3, 95):
H = (3,95 - 3)/(1, 5 - 1)
H = (0,95)/(0,5) = 1, 9
Q = (1, 25; 3, 49):
H = (3, 49 - 3)/(1, 25 - 1)
H = (0,49)/(0,25) = 1, 96
Krok 5. Oszacuj krzywą dla nieskończenie małego przedziału na linii
Gdy Q zbliża się do P, H zbliży się do krzywej w punkcie P. Ostatecznie, w nieskończenie małym przedziale, H będzie równe krzywej w P. Ponieważ nie jest możliwe zmierzenie lub obliczenie tego przedziału, jest on jedynie szacowany krzywa w P, gdy stanie się jasna z badanych punktów.
-
W przykładzie, przesuwając Q bliżej P, otrzymaliśmy wartości 1, 8, 1, 9 i 1,96 dla H. Ponieważ liczby te wydają się zbliżać do 2, można powiedzieć, że
Krok 2. jest dobrym oszacowaniem krzywej w P.
- Pamiętaj, że krzywa w danym punkcie na linii jest równa pochodnej równania dla linii w tym punkcie. Ponieważ linia pokazuje przemieszczenie obiektu w czasie i, jak widać w powyższym rozdziale, chwilowa prędkość obiektu jest pochodną jego przemieszczenia w danym punkcie, można również powiedzieć, że 2 metry/sekundę jest dobrym oszacowaniem dla prędkości chwilowej przy t = 1.
Część 3 z 3: Przykłady problemów
Krok 1. Wyznacz prędkość chwilową w t = 4, biorąc pod uwagę równanie przemieszczenia s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9.
To jest to samo, co przykład w pierwszej sekcji, z wyjątkiem tego, że jest to równanie sześcienne zamiast kwadratowego, więc rozwiązuje się w ten sam sposób.
- Najpierw mamy pochodną równania:
- Następnie przypisujemy wartość do t (4):
s = 5t3- 3t2+ 2t + 9
s = (3)5t(3 - 1) - (2)3t(2 - 1) + (1)2t(1 - 1) + (0)9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 218 metrów/sekundę
Krok 2. Użyj graficznego oszacowania, aby znaleźć prędkość chwilową w (1, 3) dla równania przemieszczenia s = 4t2 - T.
W przypadku tego problemu używasz (1, 3) jako punktu P, ale musisz znaleźć inne pobliskie punkty, które będą używane jako punkty Q. Więc to tylko kwestia znalezienia wartości H i oszacowania.
- Najpierw znajdujemy punkty Q w t = 2, 1, 5, 1, 1 i 1, 01.
- Następnie są wartości H:
- Ponieważ wartości H wydają się zbliżać do 7, można powiedzieć, że 7 metrów/sekundęjest dobrym oszacowaniem prędkości chwilowej w (1, 3).
s = 4t2- T
t = 2:
s = 4(2)2- (2)
4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, więc Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4(1, 5)2 - (1, 5)
4(2, 25) - 1, 5 = 9 - 1, 5 = 7, 5, wtedy Q = (1, 5,7, 5)
t = 1, 1:
s = 4(1, 1)2 - (1, 1)
4(1, 21) - 1, 1 = 4, 84 - 1, 1 = 3, 74, wtedy Q = (1, 1, 3, 74)
t = 1,01:
s = 4(1, 01)2 - (1, 01)
4(1, 0201) - 1, 01 = 4, 0804 - 1, 01 = 3, 0704, wtedy Q = (1, 01; 3, 0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Krok 11.
Q = (1, 5,7, 5):
H = (7, 5 - 3)/(1, 5 - 1)
H = (4, 5)/(0, 5) =
Krok 9.
Q = (1, 1, 3, 74):
H = (3, 74 - 3)/(1, 1 - 1)
H = (0, 74)/(0, 1) = 7, 3
Q = (1, 01; 3, 0704):
H = (3, 0704 - 3)/(1, 01 - 1)
H = (0, 0704)/(0, 01) = 7, 04
Porady
- Aby wyznaczyć przyspieszenie (zmianę prędkości w czasie), należy wykorzystać metodę z części pierwszej, aby otrzymać wyprowadzone równanie na funkcję przemieszczenia. Więc zdobądź kolejną pochodną, tym razem z wyprowadzonego równania. W ten sposób będziesz miał równanie do obliczania przyspieszenia w określonym czasie – wystarczy tylko przypisać wartość do czasu.
- Równanie wiążące Y (przemieszczenie) z X (czas) może być dość proste, na przykład Y = 6x + 3. W tym przypadku krzywa jest stała i nie trzeba szukać pochodnej, aby uzyskać krzywą, która jest, zgodnie z podstawowym modelem Y = mx + b dla wykresów liniowych, 6.
- Przemieszczenie jest podobne do odległości, ale ma określony kierunek, co powoduje przemieszczenie wektorowe i przyspieszenie skalarne. Przemieszczenie może być ujemne, a odległość tylko dodatnie.