Uproszczenie pierwiastka kwadratowego nie jest tak trudne, jak się wydaje. Aby to zrobić, po prostu rozkładasz liczbę i wyciągasz pierwiastki wszystkich znalezionych idealnych kwadratów. Gdy już nauczysz się na pamięć kilku typowych idealnych kwadratów i wiesz, jak rozłożyć liczbę na czynniki, jesteś na dobrej drodze do uproszczenia pierwiastka kwadratowego.
kroki
Metoda 1 z 3: Uproszczenie pierwiastka kwadratowego poprzez faktoryzację
Krok 1. Zrozum faktoryzację
Celem uproszczenia pierwiastka kwadratowego jest przepisanie go w formie łatwej do zrozumienia i wykorzystania w zadaniach matematycznych. Faktoring dzieli dużą liczbę na dwa lub więcej mniejszych czynników, na przykład zamieniając 9 na 3 x 3. Gdy już znajdziemy te czynniki, możemy przepisać pierwiastek kwadratowy w prostszej formie, czasami nawet zamieniając go w normalną liczbę całkowitą. Na przykład √9 = √(3x3) = 3. Postępuj zgodnie z poniższymi krokami, aby dowiedzieć się, jak wykonać ten proces z bardziej skomplikowanymi pierwiastkami kwadratowymi.
Krok 2. Podziel przez najmniejszą możliwą liczbę pierwszą
Jeśli liczba poniżej pierwiastka kwadratowego jest parzysta, podziel ją przez 2. Jeśli jest nieparzysta, spróbuj podzielić ją przez 3. Jeśli żadna z nich nie daje liczby całkowitej, przejrzyj tę listę testując inne liczby pierwsze, aż w rezultacie otrzymasz liczbę całkowitą. Musisz tylko przetestować liczby pierwsze, ponieważ wszystkie inne mają czynniki pierwsze. Na przykład nie musisz testować 4, ponieważ każda liczba podzielna przez 4 jest również podzielna przez 2, co już wypróbowałeś.
- 2.
- 3.
- 5.
- 7.
- 11.
- 13.
- 17.
Krok 3. Przepisz pierwiastek kwadratowy jako problem z mnożenia
Zostaw wszystko pod korzeniem i pamiętaj, aby uwzględnić oba czynniki. Na przykład, jeśli próbujesz uprościć √98, postępuj zgodnie z powyższym krokiem, aby znaleźć 98 ÷ 2 = 49, więc 98 = 2 x 49. Przepisz "98" w oryginalnym pierwiastku kwadratowym, używając tej informacji: √98 = √(2x49).
Krok 4. Powtórz z jedną z pozostałych liczb
Zanim uprościmy korzeń, kontynuujemy faktoryzację, aż podzielimy go na dwie identyczne części. Ma to sens, jeśli zastanowisz się, co oznacza pierwiastek kwadratowy: wyrażenie √(2 x 2) oznacza „liczbę, którą możesz samodzielnie pomnożyć, równą 2 x 2.” Oczywiście ta liczba to 2! Mając to na uwadze, powtórzmy powyższe kroki dla naszego przykładowego problemu, √(2 x 49):
- 2 jest już maksymalnie rozłożone na czynniki (innymi słowy, jest to jedna z tych liczb pierwszych z powyższej listy). Zignorujmy to na razie i spróbujmy zamiast tego podzielić 49.
- 49 nie można podzielić równo przez 2, 3 lub 5. Możesz to sprawdzić za pomocą kalkulatora lub dokonując dzielenia. Ponieważ te liczby nie dają pełnych wyników, zignorujmy je i próbujmy dalej.
- 49 można podzielić równo przez 7. 49 ÷ 7 = 7, więc 49 = 7 x 7.
- Przepisz problem: √(2 x 49) = √(2 x 7 x 7).
Krok 5. Zakończ uproszczenie, „wyjmując” liczbę całkowitą
Kiedy podzielisz problem na dwa identyczne czynniki, możesz zamienić go w zwykłą liczbę całkowitą poza pierwiastkiem kwadratowym. Zostaw w nim wszystkie inne czynniki. Na przykład √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2).
Nawet jeśli możliwe jest kontynuowanie faktoringu, nie musisz tego robić po znalezieniu dwóch identycznych czynników. Na przykład √(16) = √(4 x 4) = 4. Gdybyśmy kontynuowali faktoring, otrzymalibyśmy tę samą odpowiedź, ale wykonując większą pracę. √(16) = √(4 x 4) = √ (2 x 2 x 2 x 2) = √(2 x 2)√(2 x 2) = 2 x 2 = 4
Krok 6. Pomnóż liczby całkowite, jeśli jest więcej niż jeden
W przypadku niektórych dużych pierwiastków kwadratowych możesz uprościć więcej niż raz. Jeśli tak się stanie, pomnóż liczby całkowite, aby uzyskać ostateczny problem. Oto przykład:
- 180 = √(2 x 90).
- 180 = √(2 x 2 x 45).
- √180 = 2√45, ale można to jeszcze uprościć.
- √180 = 2√(3 x 15).
- √180 = 2√(3 x 3 x 5).
- √180 = (2)(3√5).
- √180 = 6√5.
Krok 7. Napisz "nie da się uprościć", jeśli żadne dwa czynniki nie są identyczne
Niektóre pierwiastki kwadratowe są już w najprostszej formie. Jeśli będziesz kontynuować rozkładanie na czynniki, dopóki każdy wyraz poniżej pierwiastka kwadratowego nie będzie liczbą pierwszą (wymienioną w jednym z powyższych kroków) i żadne dwie liczby nie będą takie same, nic nie możesz zrobić. Być może otrzymałeś podchwytliwe pytanie! Na przykład spróbujmy uprościć √70:
- 70 = 35 x 2, więc √70 = √(35 x 2).
- 35 = 7 x 5, więc (35 x 2) = √(7 x 5 x 2).
- Wszystkie trzy z tych liczb są pierwsze, więc nie można ich rozłożyć na czynniki. Ponadto wszystkie są różne, więc nie można „usunąć” liczby całkowitej. √70 nie można uprościć.
Metoda 2 z 3: Znajomość idealnych kwadratów
Krok 1. Zapamiętaj kilka idealnych kwadratów
Podbicie liczby do kwadratu lub pomnożenie jej przez siebie tworzy idealny kwadrat. Na przykład 25 jest idealnym kwadratem, ponieważ 5 x 5, czyli 52 jest równy 25. Zapamiętywanie co najmniej pierwszych dziesięciu idealnych kwadratów może pomóc w szybkim rozpoznaniu i uproszczeniu idealnych pierwiastków kwadratowych. Oto 10 pierwszych idealnych kwadratów:
- 12 = 1.
- 22 = 4.
- 32 = 9.
- 42 = 16.
- 52 = 25.
- 62 = 36.
- 72 = 49.
- 82 = 64.
- 92 = 81.
- 102 = 100.
Krok 2. Znajdź pierwiastek kwadratowy z idealnego kwadratu
Jeśli rozpoznasz idealny kwadrat poniżej symbolu pierwiastka kwadratowego, możesz natychmiast ustawić go jako pierwiastek kwadratowy i pozbyć się symbolu pierwiastka (√). Na przykład, jeśli widzisz liczbę 25 pod symbolem pierwiastka kwadratowego, wiesz już, że odpowiedź to 5, ponieważ 25 to kwadrat idealny. Oto ta sama lista co powyżej, tym razem od pierwiastka kwadratowego do odpowiedzi:
- √1 = 1.
- √4 = 2.
- √9 = 3.
- √16 = 4.
- √25 = 5.
- √36 = 6.
- √49 = 7.
- √64 = 8.
- √81 = 9.
- √100 = 10.
Krok 3. Rozłóż liczby na idealne kwadraty
Użyj idealnych kwadratów, aby pomóc ci podczas stosowania metody rozkładania na czynniki, czyli upraszczania pierwiastków kwadratowych. Jeśli widzisz sposób na uzyskanie idealnego kwadratu, możesz zaoszczędzić czas i wysiłek. Oto kilka porad:
- √50 = √(25 x 2) = 5√2. Jeśli ostatnie dwie cyfry liczby kończą się na 25, 50 lub 75, zawsze możesz otrzymać 25.
- √1700 = √(100 x 17) = 10√17. Jeśli dwie ostatnie cyfry kończą się na 00, zawsze możesz otrzymać 100.
- √72 = √(9 x 8) = 3√8. Rozpoznawanie wielokrotności 9 jest często pomocne. Oto sztuczka: jeśli dodając wszystkie cyfry liczby, wynik wynosi 9, to 9 jest zawsze czynnikiem.
- √12 = √(4 x 3) = 2√3. Nie ma tu żadnej specjalnej sztuczki, ale generalnie łatwo jest sprawdzić, czy mała liczba jest podzielna przez 4. Pamiętaj o tym podczas wyszukiwania czynników.
Krok 4. Rozkład liczby na więcej niż jeden idealny kwadrat
Jeśli czynniki liczby zawierają więcej niż jeden idealny kwadrat, przesuń je wszystkie poza symbol radykalny. Jeśli podczas procesu upraszczania znajdziesz kilka idealnych kwadratów, przesuń wszystkie ich pierwiastki poza symbol √ i pomnóż je. Na przykład uprośćmy √72:
- √72 = √(9 x 8).
- √72 = √(9 x 4 x 2).
- √72 = √(9) x √(4) x √(2).
- √72 = 3 x 2 x √2.
- √72 = 6√2.
Metoda 3 z 3: Znajomość terminologii
Krok 1. Wiedz, że symbol pierwiastka (√) jest pierwiastkiem kwadratowym
Na przykład w zadaniu √25, „√” jest symbolem rdzenia.
Krok 2. Wiedz, że korzeń jest liczbą wewnątrz symbolu korzenia
Musisz znaleźć pierwiastek kwadratowy z tej liczby. Na przykład w zadaniu √25, „25” jest korzeniem.
Krok 3. Wiedz, że współczynnik jest liczbą spoza symbolu radykalnego
Jest to liczba, przez którą mnoży się pierwiastek kwadratowy; znajduje się na lewo od symbolu √. Na przykład w zadaniu 7√2 współczynnikiem jest „7”.
Krok 4. Wiedz, że czynnik to liczba, która dzieli drugi równo, nie pozostawiając żadnej pozostałości
Na przykład 2 jest współczynnikiem 8, ponieważ 8 ÷ 4 = 2, ale 3 nie jest współczynnikiem 8, ponieważ 8 ÷ 3 nie daje liczby całkowitej. Jako inny przykład: 5 to czynnik 25, ponieważ 5 x 5 = 25.
Krok 5. Zrozum, co oznacza uproszczenie pierwiastka kwadratowego
Oznacza to po prostu wyodrębnienie wszystkich idealnych kwadratów z radykandu, przeniesienie ich na lewo od symbolu radykalnego i pozostawienie drugiego czynnika wewnątrz symbolu. Jeśli liczba jest idealnym kwadratem, symbol radykalny zniknie po wpisaniu pierwiastka. Na przykład √98 można uprościć do 7√2.
Porady
Jednym ze sposobów znalezienia idealnych pierwiastków kwadratowych, które wpływają na liczbę, jest przejrzenie listy idealnych kwadratów, zaczynając od następnej najmniejszej liczby w porównaniu do jej pierwiastka. Na przykład, szukając idealnego kwadratu, który pasuje do 27, możesz zacząć od 25 i zejść na liście do 16, zatrzymując się na 9, gdy okaże się, że jest to czynnik 27
Uwagi
- Upraszczanie to nie to samo, co ocenianie. W żadnym momencie tego procesu nie powinieneś otrzymać liczby dziesiętnej!
- Kalkulatory mogą być przydatne w przypadku dużych liczb, ale im więcej ćwiczysz samodzielnie, tym łatwiej to robisz.